先生「√xの定義は何ですか？」
生徒「xっていうのは何ですか？」
先生「ここではxは実数だとしましょうか。√xの定義は何ですか？」
生徒「√xとは、二乗してxになる数です」
先生「そうですか？」
生徒「だって、√4は2ですし、2を二乗すると4になりますよね」
先生「はい。√4は2に等しいですし、2を二乗すると4に等しくなります。
でも、√xの定義は「二乗してxになる数」ではありません」
生徒「？」
先生「√xの定義が「二乗してxになる数」だとすると、「x^2 = 4（xの二乗イコール4）」という二次方程式の解は√4つまり2ということになります。そうですか？」
生徒「あ、違いますね。x^2 = 4の解は、±2（プラスマイナス2）です」
先生「そうですね。正（せい）の数2と、負（ふ）の数-2の二つがあります」
生徒「では、√xの定義は、「二乗してxになる数」ではなく、「二乗してxになる数のうち正のほう」なのですね！」
先生「そうですか？」
生徒「違いますか？」
先生「xが正ならば、あなたの答えで正しいですけれど…」
生徒「xが正ならば…。そうか、xがゼロのときは、√xはゼロですね。「正のほう」という表現ではまずい？」
先生「まずいですね」
生徒「√xの定義は、「二乗してxになる数のうちゼロか正のほう」ですね！」
先生「そのことはよく、「二乗してxになる数のうち負でないほう」と表現します」
生徒「何だか素直じゃない言い回しですね…」
先生「定義としてはここまでで大丈夫です。xは実数としましたから…負の数についても考えてみましょう」
生徒「はあ」
先生「実数は必ず、正か、ゼロか、負かのいずれかですから」
生徒「はい…ええと、xが負のとき、√xは…あれ？ 未定義、ですか？」
先生「はい、そうです。
実数の範囲だけで考えるなら、xが負のとき、√xは実数の範囲では存在しません。
xが負のとき√xは未定義といってもいいです。
複素数まで考えれば未定義ではありませんけれど」
生徒「√xの定義は「二乗してxになる数のうち負でないほう」なのですね。そして、xが負なら、そのような実数は存在しない」
先生「はい、そうなります。
「実数の範囲では」とか「xが負なら」といった条件がつくのが、もどかしいですね。
でも、もうすこし学習が進んでいくと、美しい形でその条件を取り去ることができます。
それを楽しみにしましょう」
生徒「でも、なんだか、ややこしいですね」
先生「y = √xのグラフを描いてみると、もう少しわかりやすいかもしれません」
生徒「これは…放物線ですね」
先生「放物線ですけれど、原点及び、x軸よりも上の部分がy = √xのグラフになります」
生徒「それはどういうことでしょうか」
先生「y = √xのグラフをよく観察してみましょう。x < 0のとき、グラフに対応する点はありません」
生徒「はあ」
先生「それは、ちょうど、√xに対応する実数が存在しないことをあらわします」
生徒「x = 0のときは、原点Oですね」
先生「はい。原点は、「√xはx = 0のとき0に等しい」ということに対応しています」
生徒「なるほど」
先生「そしてx > 0のときは、x軸より上と、x軸より下（そちらは破線で表しています）に、
「二乗するとxになる数」があります。上と下とで二つ、ですね。そして、√xは…」
生徒「ははあ、√xは、上の方ですね」
先生「そうなります。それが「二乗してxになる数のうち負でないほう」に対応しているのです」
生徒「なんとなくわかりましたけれど、グラフとの対応はもう一度ゆっくり考えないとわからないです」
先生「はい。ゆっくり考えてください」
■まとめ（すべて実数の範囲で考えるとする）
・「二乗するとxになる数」は…
x < 0 のときは存在しない
x = 0 のときは唯一存在する（0である）
x > 0 のときは二つ存在する（√x と -√x である）
である。
・「√xの定義」は…
二乗するとxになる数のうち、負でないほう
である。
（この対話はTwitterのnoricocoさんのつぶやきにインスパイアされて書きました。感謝します）
追記
Wikipediaの平方根 / Square rootはすばらしい。複素数の平方根の話題と、リーマン面の美しい図まで載っていますね！
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