無理数クイズ

結城浩

2005年4月13日

無理数クイズ(問題編)

クイズ

「実数x, yが x^2 + y^2 = 3 という式を満たすならば、xとyの少なくとも一方は無理数である」 この命題が真なら証明し、偽なら反例を示してください。

解答したい方はfeedbackからどうぞ。 解答は、 日記などで公開させていただくかもしれませんので、 そのおつもりで。 もちろん、自分のblogに書いて、URLを送ってくださってもOKです。

Enjoy!

無理数クイズ(解答編)

準備

A, Bを整数とすると、 3を法とする剰余を考えた下記の表から、 「A^2 + B^2が3の倍数」ならば「A, Bはともに3の倍数」であることがわかります。

    A mod 3     B mod 3     (A^2 + B^2) mod 3
    0           0           0
    0           1           1
    0           2           1
    1           0           1
    1           1           2
    1           2           2
    2           0           1
    2           1           2
    2           2           2

証明

「実数x, yが x^2 + y^2 = 3 という式を満たすならば、xとyの少なくとも一方は無理数である」ことを 背理法を使って証明します。

「x^2 + y^2 = 3という式を満たす有理数xとyが存在する」と仮定します。

すると、有理数の定義から、整数a,b,m,nを使って x = a/b, y = m/n と書くことができます(a⊥b, m⊥n)。

※⊥は「互いに素」をあらわすとします。

x^2 + y^2 = 3をa,b,m,nを使って書くと、 (a/b)^2 + (m/n)^2 = 3 になります。 両辺に(bn)^2を掛けて分母を払い、次式(1)を得ます。

(an)^2 + (bm)^2 = 3(bn)^2     ――式(1)

すなわち(an)^2 + (bm)^2は3の倍数となります。 「準備」の結果から、anとbmは両方とも3の倍数になります。

anとbmの両方とも3の倍数ですから、 (an)^2 + (bm)^2 は9の倍数になります。 つまり、式(1)の右辺3(bn)^2も9の倍数になります。 ということは、(bn)^2は3の倍数となり、 bnも3の倍数になります。

ここまでで、 an, bm, bnはすべて3の倍数になることがわかりました。

aが3の倍数かどうかによって場合分けをします。

aが3の倍数の場合: a⊥bより、bは3の倍数にはなりません。 bmとbnは両方とも3の倍数ですから、mとnは両方とも3の倍数になります。 しかしこれは、m⊥nと矛盾します。

aが3の倍数ではない場合: anは3の倍数ですから、nは3の倍数です。 m⊥nから、mは3の倍数ではありません。

bとnの最大公約数をgとすると、b = gp, n = gqを満たす整数p, qが存在します(p⊥q)。 式(1)の両辺をg^2で割って次式(2)を得ます。

(aq)^2 + (pm)^2 = 3(gpq)^2     ――式(2)

すなわち(aq)^2 + (pm)^2は3の倍数となります。 「準備」の結果から、aqとpmは両方とも3の倍数になります。 ところで、aとmはいずれも3の倍数ではありませんから、 qとpは両方とも3の倍数になります。 しかしこれは、p⊥qと矛盾します。

最初の仮定から、必ず矛盾が導かれることがわかりましたので、 背理法により、 x^2 + y^2 = 3という式を満たす有理数x, yは存在しません。

証明終わり。

※この「無理数クイズ」は都立大の入試問題に修正を加えたものです。

読者さんからの解答

以下は、結城あてに解答を送ってくださった方のページです。 結城の解答よりもエレガントです… (^_^;