二進数

結城浩

2003年5月14日

長男「ねえ、お父さん。二進数で数えられるようになったよ」

私「どれどれ?」

長男「(右手の指を折って数える。親指が最下位ビット)これが1でしょ。 これが2 (10)。それから…

311
4100
5101
6110
7111
81000
91001
101010
111011
121100
131101
141110
151111

…っと」

私「うんうん、そうだね」

長男「へへ」

私「じゃあ、クイズね。いま1から15まで数えたよねえ」

長男「そうだね」

私「親指を折ったときの数、ってどんな数?」

長男「え? ええと…1でしょ。3 (11)でしょ。それから…5 (101), 7 (111), 9 (1001), …わかった。奇数だ」

私「大正解です。それでは、親指を折らないときの数は?」

長男「偶数だよ」

私「その通り。0のときはどうかな?」

長男「指折っていない。あれれ?0は偶数でも奇数でもないんじゃないの?」

私「いや、0は偶数だよ」

長男「そうかなあ…どうして?」

私「偶数ってどんな数?」

長男「2で割り切れる数が偶数でしょ?」

私「そうだね。2で割ったときにあまりがゼロになる数、といってもいい」

長男「うーん、そうだね。あまりがゼロって不思議な感じがするけれど、そうだね」

私「じゃあ0を2で割ったらどうなる?」

長男「あれ?0で割っちゃいけないんでしょ?」

私「ちがうちがう。0で割るんじゃなくて、0を2で割るんだよ」

長男「あ、そうか。0を2で割ったら、ゼロ…?」

私「そう。0を2で割ったら、0あまり0だ。だから0は偶数」

* * *

私「じゃあねえ、親指と人差し指の両方を折らなかったときの数はどんな数?」

長男「偶数!」

私「うん。確かに偶数だ。でも偶数全部じゃない」

長男「ええと、0でしょ、4 (100)でしょ、6…は違う。8 (1000)はそうだ。…わかった。4の倍数だ」

私「その通り。4の倍数。22の倍数といってもいい」

長男「どういうこと?」

私「もう少し先まで行けばわかる。親指と人差し指と中指の全部を折らないときの数はどんな数?」

長男「わかってきたぞ…。8の倍数だ!」

私「えらいえらい。その通り。これは23の倍数だ」

長男「うーん…。どういうことかなあ…」

私「10進数で考えてみよう。一番下の位が0になるのはどんな数?」

長男「10の倍数だね。10, 20, 30, 40, ...」

私「じゃあ最後が00になる数は?」

長男「100の倍数だ。100, 200, 300, ...」

私「そうだね。100の倍数、という代わりに102の倍数と考えてみよう」

長男「000で終わる数は、1000の倍数だ」

私「その通り。今度は103の倍数だ」

長男「わかったような、わからないような」

私「ここまでで材料はそろったんだよ。いいかい…」

2進数で、一番下の位が0になる(0で終わる)のは 2の倍数。

10進数で、一番下の位が0になる(0で終わる)のは10の倍数。

長男「そうだったね」

2進数で、00で終わるのは 4の倍数 ―― 22の倍数。

10進数で、00で終わるのは100の倍数 ―― 102の倍数。

長男「ふんふん」

2進数で、000で終わるのは 8の倍数 ―― 23の倍数。

10進数で、000で終わるのは1000の倍数 ―― 103の倍数。

長男「あっ、わかってきた。最後のゼロの数なんだ」

私「その通り。一般的に書いてみよう」

2進数で、N個の0で終わるのは 2Nの倍数。

10進数で、N個の0で終わるのは10Nの倍数。

長男「エヌってよくわからないけど、0が続いて終わるよねえ、 そのゼロの数の分だけ、2や10をかければいいんだね」

私「そうだよ。その通り。その『ゼロの数の分だけ』というのをはっきり短く言うために エヌっていう文字を使っているんだ」